\documentclass{article}
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\begin{document}

\section*{切触数学定义与性质}

\subsection*{定义}

切触数学是微分几何的一个分支，它研究的是流形之间的切触关系。切触关系是一种比微分同胚更精细的几何关系，它要求流形在某些点或子流形上具有相同的切空间或切丛。

在切触几何中，一个基本的对象是切触流形（contact manifold）。设$M$是一个$2n+1$维的流形，如果在其上存在一个全局定义的1-形式$\alpha$，满足$\alpha \wedge (d\alpha)^n \neq 0$，则称$M$为一个切触流形，而$\alpha$被称为切触形式。

\subsection*{性质}

1. \textbf{切触变换群}：
   切触流形上的切触变换群是保持切触形式不变的微分同胚群。这些变换在流形的切触结构下具有某种不变性。

2. \textbf{Reeb向量场}：
   给定一个切触形式$\alpha$，存在一个唯一的向量场$R$（称为Reeb向量场），满足$\alpha(R) = 1$且$d\alpha(R, \cdot) = 0$。Reeb向量场在切触几何中扮演着重要的角色。

3. \textbf{切触分布}：
   切触形式$\alpha$的核（即满足$\alpha(X) = 0$的向量场$X$的集合）构成了一个超平面分布，这个分布在切触几何中被称为切触分布。

4. \textbf{切触流形的分类}：
   切触流形可以根据其切触形式的某些性质进行分类。例如，如果切触形式$\alpha$是严格的（即$\alpha \wedge (d\alpha)^n$在$M$上处处不为零），则称$M$为严格切触流形。

5. \textbf{Legendre子流形}：
   在切触流形中，一个子流形如果其切空间在任意点都是切触分布的子空间，则被称为Legendre子流形。Legendre子流形在切触几何中具有重要的地位。

6. \textbf{切触同伦与切触同胚}：
   两个切触流形如果可以通过一系列保持切触结构的连续变形而相互转化，则称它们为切触同伦的。如果这种变形是微分同胚，则称它们为切触同胚的。

\end{document}